Ejercicios de continuidad de funciones

1Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

2Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

3Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

4¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

5Dada la función:

- Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

-¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.

6Estudiar la continuidad de la función:

7Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

8Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

9Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

10La función definida por:

es continua en [0, ∞).

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

Ejercicios resueltos de continuidad de funciones

1Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

La función es continua en todos los puntos de su dominio.

D = R− {−2,2}

La función tiene dos puntos de discontinuidad en x = −2 y x = 2.

La función es continua en toda R menos en los valores que se anula el denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad.

x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3

La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3

La función es continua en toda

|−1 − (−3)| = 2

La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0 .

En x = 1 hay una discontinuidad de salto finito.

La función es discontinua inevitable de salto 2/3 en x = 0.

2 Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

f(0)=0

En x = 0 hay una discontinuidad esencial.

3 Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos x = 1 y x = 2, en los que cambia la forma de la función.

En x = 1 tiene una discontinuidad de salto 1.

En x = 2 tiene una discontinuidad de salto 1.

4 ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

La función es continua en x = 0.

En x = 0 hay una discontinuidad de salto infinito.

5 Dada la función:

- Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

f(5) = 0.

Resolvemos la indeterminación:

f(x) no es continua en x = 5 porque:

- ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.

Si la función sería continua, luego la función redefinida es:

6 Estudiar la continuidad de la función:

La función f(x) es continua para x ≠ 0. Vamos a estudiar la continuidad en x = 0.

La función no es continua en x = 0, porque no está definida en ese punto.

7 Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

La función es continua en toda .

8 Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

La función está acotada . por tanto se verifica:

, ya que cualquier número multiplicado por cero da cero.

Al ser f(0) = 0.

La función es continua.

9 Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

10 La función definida por:

es continua en [0, ∞).

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.